Auf die Melodie von Komm lieber Mai und mache.
Kommutativ die Gruppe, nullteilerfrei der Ring, und auch 'ne Eins die hat er, des isch'n dolles Ding! Wie möchten wir so gerne die Hauptideale drin seh'n, dann würde nämlich einfach die Primfaktorzerlegung geh'n! An dieser Stelle verzweigt das Lied: Links die Fortsetzung von Karimmi, rechts die von Tobias.
Nun nehmen wir 'nen Körper skalarigerweise hinzu, und wenn das geht, so hamm wir 'ne Algebra im nu. Doch könnten wir darin invertiern, dann wäre sie nochmal so schön. Drum lasst uns nicht lang zögern und zum Quotienten übergehn. |
Beweis: Dies Sätzchen zu beweisen, ist überhaupt nicht schwer; wir nehmen uns dazu mal 'nen Hauptidealbereich her. Dort folgt aus irreduzibel prim; das macht die Zerlegung uns leicht, weil drum für die Faktoren schon die Unzerlegbarkeit reicht. Sind ai Elemente, die faktorisierbar nicht sind, so konstruieren wir daraus 'nen Widerspruch geschwind. Wir schauen uns die Ideale an, die diese ai generier'n, und zeigen, daß darin dann ganz komische Dinge passier'n. Von solchen Idealen nimmt man 'ne Folge sich her, und wenn die Folge aufsteigt, dann ist sie stationär. Denn auch die ganze Vereinigung ist wieder ein Hauptideal, erzeugt von einem an. (Wie groß n ist, ist uns egal.) Drum geht für echte Teiler von an die ZPE, und damit für an selbst - ein Widerspruch! q.e.d. Das war vielleicht jetzt ein bißchen schnell, doch ist ja der Platz hier auch eng; viel ausführlicher steht es im Algebra-Buch von Serge Lang. |